在微積分，駐點（Stationary Point）又稱為平穩(wěn)點或臨界點（Critical Point）是函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，即在這一點，函數(shù)的輸出值停止增加或減少。對于一維函數(shù)的圖像，駐點的切線平行于x軸。對于二維函數(shù)的圖像，駐點的切平面平行于xy平面。值得注意的是，一個函數(shù)的駐點不一定是這個函數(shù)的極值點（考慮到這一點左右一階導(dǎo)數(shù)符號不改變的情況）；反過來，在某設(shè)定區(qū)域內(nèi)，一個函數(shù)的極值點也不一定是這個函數(shù)的駐點（考慮到邊界條件），駐點（紅色）與拐點（藍(lán)色），這圖像的駐點都是局部最大值或局部最小值。

靜態(tài)平衡系統(tǒng)

在分析力學(xué)里，虛功原理闡明，對于一個靜態(tài)平衡 - static?equilibrium系統(tǒng)，所有外力的作用，經(jīng)過虛位移，所作的虛功，總合等于零，以方程式表達(dá)，其中，是虛功，是第個外力，是對應(yīng)于的虛位移。轉(zhuǎn)換為以廣義力和廣義坐標(biāo)表達(dá)，假設(shè)這系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，則每一個廣義力都是一個標(biāo)量的廣義位勢函數(shù)的對于其對應(yīng)的廣義坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)：虛功與廣義位勢的關(guān)系為所以，一個靜態(tài)平衡系統(tǒng)的位勢乃是個局域平穩(wěn)值。注意到這系統(tǒng)只處于平穩(wěn)狀態(tài)。假設(shè)，要求這這系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，則位勢必須是個局域極小值。

拉格朗日方程式

在變分法里，歐拉-拉格朗日方程式是從其對應(yīng)的泛函的平穩(wěn)點推導(dǎo)出的一種微分方程式。設(shè)定

參見

簡介

在數(shù)學(xué)上，一個反曲點或拐點是一條可微曲線改變凹凸性的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。決定曲線的拐點有助于理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用?！侗本┤請蟆?982.10.31：“全縣二十二個有圍網(wǎng)的隊都做好了一切準(zhǔn)備工作，提前到駐點候著?！?/p>

定義

若曲線圖形在一點由凸轉(zhuǎn)凹，或由凹轉(zhuǎn)凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數(shù)在某點的二階導(dǎo)數(shù)為零（且二階導(dǎo)數(shù)在該點兩側(cè)符號相反），或不存在，該點即為函數(shù)的拐點。這是尋找拐點時最實用的方法之一。

充要條件

拐點的必要條件：設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，，若是曲線的一個拐點，但是0兩側(cè)全是凸，所以0不是函數(shù)的拐點。

拐點的充分條件：設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，，若在兩側(cè)附近異號，則點為曲線的拐點。否則（即保持同號），不是拐點。

分類

拐點可以根據(jù)?f'（x）為零或不為零，進(jìn)行分類。

如果f'（x）為零，此點為拐點的駐點，簡稱為鞍點。

如果f'（x）不為零，此點為拐點的非駐點。

舉一個鞍點的例子，是y=x3的點（0,0）。切線為x軸；切線正好在將圖像分為兩半。

參數(shù)曲線

平面參數(shù)曲線的拐點是使其曲率變號的點，此時曲率中心（居于曲線凹側(cè)）從曲線的一側(cè)換至另一側(cè)。

雙正則點

雙正則點是使得參數(shù)曲線的一階與二階微分（它們是向量）線性無關(guān)的點。在雙正則點上，曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零，但是不一定有變號。在尋找參數(shù)曲線的拐點時，我們通常先以微分找出非雙正則點，繼之研究其局部性狀，以判定是否為拐點。

設(shè)為域上的平面代數(shù)曲線，其拐點定義為一平滑點，使得該點切線與在點的相交重數(shù)。

注意到一條曲線與在點相切的充要條件是相交重數(shù)。當(dāng)時，代數(shù)曲線的拐點定義等價于上節(jié)注記中的廣義定義。

鞍點

一個不是局部極值點的駐點稱為鞍點。

廣義而說，一個光滑函數(shù)（曲線，曲面，或超曲面）的鞍點鄰域的曲線，曲面，或超曲面，都位于這點的切線的不同邊。

鞍點這詞語來自于不定二次型的二維圖形，像個馬鞍：在x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲。

檢驗二元實函數(shù)F - x,y的駐點是不是鞍點的一個簡單的方法，是計算函數(shù)在這個點的黑塞矩陣：如果黑塞矩陣的行列式小于0，則該點就是鞍點。例如，函數(shù)在駐點的黑塞矩陣是：

我們可以看到此矩陣有兩個特征值2，－2。它的行列式小于0，因此，這個點是鞍點。然而，這個條件只是充分條件，例如，對于函數(shù)點是一個鞍點，但函數(shù)在原點的黑塞矩陣是零矩陣，并不小于0。的鞍點在? - 0,0?，一維鞍點看起來并不像馬鞍！在一維空間里，鞍點是駐點·也是反曲點。因為函數(shù)圖形在鞍點由凸轉(zhuǎn)凹，或由凹轉(zhuǎn)凸，鞍點不是區(qū)域性極點。

思考一個只有一個變量的函數(shù)。這函數(shù)在鞍點的一次導(dǎo)數(shù)等于零，二次導(dǎo)數(shù)換正負(fù)符號·例如，函數(shù)?就有一個鞍點在原點。

兩座山中間的鞍點（雙紐線的交叉點）?

思考一個擁有兩個以上變量的函數(shù)。它的曲面在鞍點好像一個馬鞍，在某些方向往上曲，在其他方向往下曲。在一幅等高線圖里，一般來說，當(dāng)兩個等高線圈圈相交叉的地點，就是鞍點。例如，兩座山中間的山口就是一個鞍點。

極值

在數(shù)學(xué)中，極大值與極小值（又被稱為極值）是指在一個域上函數(shù)取得最大值（或最小值）的點的函數(shù)值。而使函數(shù)取得極值的點（的橫坐標(biāo)）被稱作極值點。這個域既可以是一個鄰域，又可以是整個函數(shù)域（這時極值稱為最值）。數(shù)學(xué)函數(shù)的一種穩(wěn)定值,即一個極大值或一個極小值。

局部最大值：如果存在一個ε?>?0，使的所有滿足|x-x*|?<?ε的x都有f - x*≥?f - x我們就把點x*對應(yīng)的函數(shù)值f - x*稱為一個函數(shù)f的局部最大值。從函數(shù)圖像上看，局部最大值就像是山頂。

局部最小值：如果存在一個ε?>?0，使的所有滿足|x-x*|?<?ε的x都有f - x*≤?f - x我們就把點x*對應(yīng)的函數(shù)值f - x*稱為一個函數(shù)f的局部最小值。從函數(shù)圖像上看，局部最小值就像是山谷的底部。

全局（或稱‘絕對’）最大值：如果點x*對于任何x都滿足f - x*≥?f - x，則點f - x*稱為全局最大值。?全局（或稱‘絕對’）最小值：如果點x*對于任何x都滿足f - x*≤?f - x，則點f - x*稱為全局最小值。

全局最值一定是局部極值，反之則不然。

極值的概念不僅僅限于定義在實數(shù)域上的函數(shù)。定義在任何集合上的實數(shù)值函數(shù)都可以討論其最大最小值。為了定義局部極值，函數(shù)值必須為實數(shù)，同時此函數(shù)的定義域上必須能夠定義鄰域。鄰域的概念使得在x的定義域上可以有|x?–?x*|?<?ε。

局部最大值（最小值）也被稱為極值（或局部最優(yōu)值），全局最大值（最小值）也被稱為最值（或全局最優(yōu)值）。

求極值的方法

求全局極值是最優(yōu)化方法的目的。對于一元二階可導(dǎo)函數(shù)，求極值的一種方法是求駐點（亦稱為靜止點，停留點，英語：stationary?point），也就是求一階導(dǎo)數(shù)為零的點。如果在駐點的二階導(dǎo)數(shù)為正，那么這個點就是局部最小值；如果二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則是局部最大值；如果為零，則還需要進(jìn)一步的研究。

一般地，如果在駐點處的一階、二階、三階……直到N階導(dǎo)數(shù)都是零，而N+1階導(dǎo)數(shù)不為零，則當(dāng)N奇數(shù)且N+1階導(dǎo)數(shù)為正時，該點為極小值；當(dāng)N是奇數(shù)且N+1階導(dǎo)數(shù)為負(fù)時，該點為極大值；如果N是偶數(shù)，則該點不是極值。

如果這個函數(shù)定義在一個有界區(qū)域內(nèi)，則還要檢查局域的邊界點。如果函數(shù)在定義域內(nèi)存在不可導(dǎo)點，則這些不可導(dǎo)點也可能是極值點。

例子

函數(shù)有惟一最小值，在x?=?0　處取得。函數(shù)沒有最值，也沒有極值，盡管其一階導(dǎo)數(shù)在x?=?0處也為0。因為其二階導(dǎo)數(shù) - 6x在該點也是0，但三階導(dǎo)數(shù)不是零。

函數(shù)cos - x有無窮多個最大值，在x?=0,?±2π,?±4π,?…，與無窮多個最小值　在x?=±π,?±3π?…?.

求函數(shù)的極值時還應(yīng)當(dāng)考慮其不可導(dǎo)點，即導(dǎo)數(shù)不存在的點。如函數(shù)y=|x|中0處的導(dǎo)數(shù)不存在，事實上從圖像上也能看出這一點來。而且0就是該函數(shù)的一個極小值。